19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その13
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1340469523/
なおSTSあるいはTTTと名乗る者のレスは
きちんとした数学的理解に基づかず無意味な内容です。
このことは本人も認めています。（前スレの900以降など）
STSあるいはTTTと名乗る者の相手をすることは
荒らし行為に当たりますのでご注意ください。
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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これまでの経緯から想像するとその通りだろうね。
だからこそ>>1はよくやったと思う。スルーするしか対処法ないからね。
もっともコテを替えられたらどうしようもないんだけど。
本当に手に負えないよ
前スレで名無しで書き込んでた奴いるのか？
俺はTTTじゃないからね。
まさか前スレの自分以外の書き込みは全部TTTの書き込みだと思って叩いてたとか？
そこまでいくとちょっと極端だよ
色んな意味づけができるので、一つの意味だけを取り上げるとかえって実情と掛け離れる。
同義である場合もそうでない場合もある。
基数ってなんすか
アレフの活字が無いのが惜しいのだが
これって大学何年レベルなの？
自分はまだコンパクト集合くらいまでしかやってないからな＿|￣|○
一年生の時から或る意味大学院レベルの勉強ができるのであります
集合論を扱った本なら大抵基数は載ってると思うんだが
同値関係なんだから似たようなものじゃん、と思うかもしれないけどさに非ず。
厄(a)と厄(b)が同じ ⇔ a△b := (a-b) ∪ (b-a) が有限
みたいな同値関係だと、さすがに海のものとも山のものとも分からない代表元を
選んで来ちゃう厄(x)を導入して大丈夫なのか不安に思うでしょ？
こういう厄介な関数が存在しても矛盾はしないわけだが、それを言うのは学部の知識じゃ無理
（要はNBG + Global Choiceがあれば良い。
でもこれの整合性を示すには、強制法を使わないと証明が大変な
NBGのZFからの相対無矛盾性と、
任意のproper class C と V は一対一対応するという定理が要るはず）
厄(･)は何を意味してるの？
条件（厄）：「厄(a)と厄(b)が同じ ⇔ a△b := (a-b) ∪ (b-a) が有限」
を満たすクラス関数とします。
つまり（厄）を満たすもの、というのが定義です。
等濃な集合の同値類を取るのと同じ操作をした訳です。
って別に不安に思わない気がしてきた（汗
ところで北田均先生が「数理解析学概論」という本を新しく出したのが
生協に売ってたんだけど、立ち読みした範囲だと
不完全性と集合論に関する間違いは発見できなかった。
最近は新井先生の教科書みたいな本
（ただしこの本は、テクニカルな間違い・ミスプリがかなり多いので
新しく買うときは第3刷を買いましょう）も出て
理解しやすいようになったから或る程度ご理解されたのかなあ。
こんな話があるがこのスレ的にはどうなの？
（abc予想と）Uniform Serre Open Image予想なるものを仮定すると
成り立っていないようだって言われてるんじゃなかったっけ？
＞その前までの数論的な部分については指摘されていない。
これは明らかに間違いです。
たぶん全然ロジック知らない人が、前スレの
もっちーの公理の数え方がおかしいという話を、
これが問題点なのか！とトンデモナイ勘違いしたとかそういう話なのではｗ
前スレのあれは、望月先生の権威がどうとかに関係なく
こんなのは誰が見たって揚げ足取りですよね、って話ですよｗ
>もっちーの公理の数え方がおかしいという話を、
>これが問題点なのか！とトンデモナイ勘違いしたとかそういう話なのではｗ
お前やっぱかなーりズレてるわ
どういうお花畑脳だとこう解釈できるんだよｗ
お花畑ってことは自分にとっておめでたい解釈ってことですよね？
>>32さんがおかしいと指摘しているその解釈が仮に正しかったとすると
どうして31の自説(>>31の最後の2行)を補強することになるのか
理解できてるってことですか？
もしそうなら教えて下さい。
その時間で噂の望月論文でもお経のように唱えてた方がまし
「超難問を解いた論文・著者にケチをつけているように見られておまいらバカね」って言いたいんじゃないの？
これを権威を借りようとしていると言わずして何というのか
得てしてこういうことは本人が一番気づけないんだな
初歩的な勘違いしてる可能性が限りなく低いのは、数学のリテラシーがあれば誰でも分かるから
おっしゃることはその通りだがそれがいまの話とどんな関係が？
ZFCGがZFCの保存拡大になっているというところじゃないの？
ZFCGは前スレのZFC+Uのことだから、ロジシャンなら誰にでも分かる明らかに間違い。
この間違いが他の部分に本質的な打撃を与えたりしないとは思うけど
もっちーが基礎論の部分に関して初歩的な勘違いしているのは否定しようのない事実。
初歩的もいいとこでほんとにそんなバカなことが書いてあるのかよと
ダウンロードしたまんま開いてなかった論文を見てみたよ。確かに書いてある。
というかこれって前スレ830が引用した箇所のすぐ近くなんだけど
前スレ830=>>31はこんな初歩的な間違いにも気づかずに
得意になって「望月先生は～」なんて引用してたんか？アホだろ。
「(†)はZFCから独立である」みたいな問題記述だったら
ロジックの専門家でもやっちゃうことがあるし、その否定が正しい訳でもないんですが
conservative extentionって書いちゃったら（ZFCが矛盾していない限り）偽ですね。
ネットで手に入りやすい参考資料
・ http://math.stanford.edu/~feferman/papers/BernaysLecture3.pdf の特にスライド8あたり（同名の論文あり）
・ http://arxiv.org/pdf/0810.1279v2.pdf （もっと詳しい）
mathoverflowの
"Set theory for category theory beginners"ってトピックみたら
ShulmanさんとかHamkinsさんとかが普通に答えててﾜﾛﾀ
「不完全性」の定義について吉永良正と同じように酷い勘違いしてるのも見たことあるんですよね…
自然に読者を誤解させるような用語法を使ってるロジシャンも酷いと言えば相当に酷いのですが。
Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"（和訳あり）にこういう文章があります
> 最後に，公理系は完全であるかと言う問題がある．すなわち，公理系のす
>べてのモデルでなりたつ命題は，公理系から結果として証明されるか，とい
>う問題である．再びゲーデルは，相応に豊富な任意の公理系が，完全ではあり
>得ないことを示している． （R.ハーツホーン「幾何学」 p.83）
望月先生もハーツホーンも「初歩的」なミスをしているのは
たぶん、普通の数学者は統語論と意味論の区別ができないからだと思います。
小平邦彦先生もこの区別が分かっていなかったフシがあります。
代数幾何学者がZFCなどの集合論について何かしら書いたものを読むときには
そもそも、Grothendieck学派の人達自身がZFCからはみ出した
Grothendieck宇宙の公理がどこで必要になるのかちゃんと分かってたのかどうかとか、
そのレベルで疑問符付きでやらないとダメなのかもしれません。
「一つの宇宙を固定してその中で作業するのが集合論なのに対し
同じ論理式を異なる宇宙で解釈させるのががspecies理論だ」
みたいなこと書いてあるけど、こりゃ集合論者も真っ青だなｗ
なんか「数学では答えは一つだけど現実社会でははそうじゃない」
って言われたときのあの脱力感。
きちんと身につけてから使おうとしたら勉強だけで終わってしまう。
ここだけは望月先生をdisるスレになってるね！
本当なら歓迎したいし個人的な本音としてはディスりたくなんかないさ。
しかしロジックの部分の内容が余りに的外れで擁護のしようが(ry
もっちーの論文の信頼性が微妙に破綻しかけてることのほうがまずい
もっちーはDrakeを一応持ってるみたいだから、巨大基数とは何か、
みたいなことは或る程度知ってると思う
たぶん代数幾何学者は集合論には興味を持って勉強しようとするだろうけど、
一階述語論理についてきちんと勉強しようという気にはならないんだと思う（数学者的には、そらそうだわな）
集合論の言語は< =, ∈>であって保存拡大かどうかは
言語を意識的にfixして考えないといけない、とか
公理的な集合論を勉強するときはコンパクト性定理とかL-S定理とか
完全性定理と不完全性定理を知っていることは
基礎知識として仮定されていることが多い、とかそういうところで躓くんだと思う
そういうところで躓いてたとしてもDrakeの本をさらっとでも見たら
「一つの宇宙を固定してその中で作業するのが集合論なのに対し
同じ論理式を異なる宇宙で解釈させるのががspecies理論だ」
なんて誤解はしないんじゃないか？
絶対性がどうとか、モデルに相対化させる記法とかさんざん出てくるんだから。
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ABC予想をZFCGで証明した後その主張からZFCの定理であると言うため？
だとするとかなり致命的なんじゃないの？
本当に大丈夫なのか心配になってくるよね
abc予想はその前の節で証明されていることになっているはず
だとすると何故必要もないのに、自分がよく知らない世界に立ち入って
怪しい理解に基づいた主張をするんだろう？
（しかも原文だと conservative extensionality になってる）
どう贔屓目に見ても保存拡大の概念を理解していないし
一階述語論理の言語とか理論とかを分かっているとは思えない
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「相応に豊富な任意の公理系」って二階算術のことで、モデルってのは
二階算術としての標準解釈（Henkin解釈ではなく）だったりするのかな
まさかね
×二階算術として
○二階述語論理として
＞Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"（和訳あり）にこういう文章があります
＞> 最後に，公理系は完全であるかと言う問題がある．すなわち，公理系のす
＞>べてのモデルでなりたつ命題は，公理系から結果として証明されるか，とい
＞>う問題である．再びゲーデルは，相応に豊富な任意の公理系が，完全ではあり
＞>得ないことを示している． （R.ハーツホーン「幾何学」 p.83）
前半の完全と後半の完全は別の意味で使っているから正しいのでは？
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ただちに無意味であるとか役に立たないとかそういうことは言えないよね
保存的拡大の部分は枝葉末節。
そら無理ってもんだろ
それでどういう役割を果たすんだい？
>Springer社のUTMの"Geometry : Euclid and beyond"（和訳あり）にこういう文章があります
> 最後に，公理系は完全であるかと言う問題がある．すなわち，公理系のす
>べてのモデルでなりたつ命題は，公理系から結果として証明されるか，とい
>う問題である．再びゲーデルは，相応に豊富な任意の公理系が，完全ではあり
>得ないことを示している． （R.ハーツホーン「幾何学」 p.83）
吉永の誤解とは違うね。
吉永は完全性を決定可能性と同義だと誤解していたからね。
ハーツホーンが、例えば自然数論を二階論理上の理論と考えているなら
上記の文章がマチガッテルとはいえないな。
二階論理では、一階論理と違って完全性定理が成立しない。
そしてそれは、ゲーデルの不完全性定理から証明される。
「偉い人はやっぱり偉い」って言い続けていればいいよ
＞ただちに無意味であるとか役に立たないとかそういうことは言えないよね
誰かそんなこと言ってたか？
ロジックに関して初歩的な勘違いをしているね、という話しか出てないはずだが
僅か1時間50分の間に同じ文章の解釈（間違いではない根拠）が
劇的に変わっているんだが同一人物ではあり得ない、よな？
私はハーツホーンは２つの完全性の違いをきちんと理解している可能性もあるんじゃないと主張しています。
たとえば翻訳者が２種類の完全性を同一のものと勘違いして意訳してしまったという状況もありえます。
原著のpp.70, 71。ちょっと広めに引用するけどfinally以降が相当する部分。
While we are discussing axiom systems, there are a few more concepts we should mention.
An axiom system is consistent if it will never lead to a contradiction. That is to say, if it is not
possible to prove from the axioms a statement A and slso to prove its negation not A.
（中略）
Unfortunately, however, the logician Kurt Godel has proved that for any reasonably
rich set of axioms, it will be impossible to prove the consistency of that system.
So we will have to settle for something less, which is relative consistency.
(中略)
Another question about a system of axioms is whether it is categorical. This means, does
it describe a unique mathematical object? OR in other words, is there a unique model
(up to isomorphism) for the system of axioms?
（中略）
Finally, one can ask whether the axiom system is complete, which means, can every
statement that is true in every model of the axiom system be proved as a consequence of the axioms?
Again, Godel has shown that any axiomatic system of reasonable richness cannot be complete.
For a fuller discussion of these questions, see Chapter 51 of Kline(1972) on the foundations of mathematics.
その直前か直後で「同じ単語を別の意味で使っています」と断り書きがあれば別だが、
>>61はそういう断り書きを示すことはできないんだよな？
あとはハーツホーンは正しく理解していたが誤ってという可能性だが
これはもう本人の責任であって「間違ってる」と言われても仕方がない話。
ハーツホーンはcompleteを含め論理学については何も知らないと思う。
なかなかRobinsonのQとかRとかは良い感じに弱いよ
ゲーデル数化は或る意味で多様体の局所座標みたいなものだから
きちんと定義して性質をまとめるのは有意義なんじゃないかな、
とは思うんだが、そういう研究はあまり見たことないな。
知られている中で最弱の～～だったらある程度文献を調べるだけで良いんだけどね。
その定義に則って最弱なものの存在も示さないとな
つまり理論やモデルの解釈関係で良いはず。
こういうinterpretabilityについてはそれなりに研究されてるんじゃないのかな。
文字列 s のコードを G(s) としたときにゲーデル数化ができるというのは
チューリングマシンを用いて s から G(s) が計算でき、
また G(s) から s も計算できる、という定義で良いか。
異なるゲーデル数化同士の関係には再帰理論がそのまま応用できる。
82は無しで
Hajek-Pudlak に書いてあったと思うけど
Robinson's Q とか Buss' S^2_i とか弱い体系は
全部 mutually intepretable になるはず。
だからその定義だとその辺の体系はすべて最弱。
数年前にQより弱いR'_0で第一の方が証明されたというPDFを読んで浮かんだ疑問でした。
一般の理論Tにたして、何が示せたら第二不完全性定理が示せたことになるのか、
という本質的に全く同じ問題が残るわけだが
どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html
0または1に当たるものとsuccessor Sがあれば良い
そのゲーデル数の性質がどれだけ証明できるか、ということなんだよね
第二不完全性定理を（知られているやり方で）証明するためには
帰納法がある程度必要になる、というのがコンセンサスかと
RobinsonのQとか帰納法が全くないにもかかわらず
第二不完全性定理が証明できるわけだが。
何個か前のスレでもこの話題出てなかった？
解釈可能関係で同値なものは第二不完全性の観点からは区別する必要はない。
そして>>84が指摘しているように
帰納法が全く入っていない体系(Qなど)と帰納法のある体系がこの意味で同値になることがある。
つまり
***帰納法の有無は第二不完全性に影響しない***
わけなのだけれど、ということは>>88のいう
＞第二不完全性定理を（知られているやり方で）証明するためには
＞帰納法がある程度必要になる、というのがコンセンサスかと
はどんな素人間のコンセンサスかよ、という話になる。
第一不完全性定理のメタ証明を理論Tの中で形式化するためには
Tが数学的帰納法の公理を持ってないといけないんじゃないの？？
第一と違ってΣ1式について帰納法を仮定していることに注意すること、
とかそういうこと書いてたような
ゲーデル数化には最低でもｘ＾log(ｙ)程度の演算が必要とあったんだけど、これの情報元が不明。
またゲーデル数化の可能なIΣ1＋Ω1がQで解釈可能なのでQは第二が成り立つとあったんだけど、これの情報元も不明。
それから弱い限定算術の体系（S^i_2とか）は、自分の無矛盾性の証明どころか、
自分よりも弱い体系の無矛盾性も証明できないので、どれが弱い理論なのかよくわからないのでは？
いったい何が正しいのか分からないから、できれば情報元を提示してほしい。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/terui.pdf
の18ページ脚注も
>実際には、PA ほど強力な証明能力は必要ではなく、高々Σ1 論理式に関する
>帰納法が使用できれば十分である。（
となってるので第二は帰納法が無ければ証明出来ない、と認識してる人が多いんだと思う。
ただHajek & Pudlakの最後あたりとか、Bussの"First-Order Proof Theory of Arithmetic"
（Handbook of Proof Theoryの第二章）とかだとQに対して第二不完全性が証明してある。
限定算術について本格的に勉強したことある人はQでもOKということを知ってるんだと思う。
en.wikipedia.orgのQの記事にも、Qを含む理論に対して第二が証明できるよと
ちゃんと書いてあって文献も示してある。さすが英語版。
ただ>>90さんの言うように或る弱い算術の理論の中で
別の算術の理論を解釈するというやり方だとちょっと反則な感じがしないでもない。
ネルソンのように超準解析を経由して帰納法に疑いを持つのは理解できる。
http://projecteuclid.org/euclid.pl/1235421934
Bussの"First-Order Proof Theory of Arithmetic"
http://www.math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/handbookII/ChapterII.pdf
en.wikipedia.orgのQの記事
http://en.wikipedia.org/wiki/Robinson_arithmetic
何拗ねてんのｗ
私は代数幾何とか知らんから
ハーツホーンが偉いかどうか
なんて知らんよｗ
というのは常識であって知らない奴はモグリ
東大でも京大でも数学科学部生に「ハーツホーン読んだことある？」って言ったら普通通じる
物理学科でも通じる人のが多いかも
あんたがいて、ぼくがいた。
森
QでS^1_2を解釈して第二を示している（ように見える）。
>S^1_2とかいうBASICの拡張理論で可動条件が証明されて
「とかいう」は余計だってのｗ
限定算術で一番有名かつ重要なのがS^1_2だ
Qの中で{x|C(x)}がS^1_2のモデルになる。
つまりこのクラスに相対化した帰納法はQで証明できる。
ZFCやZFC-InfはPAを含むから第二不完全性が成立つ、
と言った時の「含む」は
ZFC-Infの中で{x|Ord(x)∧x<ω}がPAのモデルになる
という意味だったのと同じこと。
前者は反則で後者はOKとするような条件は聞いたことがない。
どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html
いまだに席巻どころかロジシャンの話題の端にものぼらないな
ZFC+V=Lのモデルを作って議論したりするのと同じ話だと考えると
地の文のなかで何かを示すのとちょっとやってることが違う気がする
集合論のなかで自然数論を標準的に解釈する場合はあまり気にはならないんだけどね。
（勿論、その集合論の算術的命題についての健全性とか、気にすべきことが無い訳ではない）
この場合でもモデルの存在と無矛盾性が同値とかいうときの無矛盾性に含まれる
可証性述語だと考えて良いのだろうか、とか
無矛盾性が体系の無矛盾性をちゃんと保証しているだろうかとか、
そういう点でもちょっと考慮すべき点が増える。
Craigの補題（補間定理ではなくてφ∧φ∧……∧φを考えるやつ）とかの方が
余程「それってありかよ！？」という感じなので大した問題じゃないけどね。
それにしてもうまいやり方があるもんだね
何が示せたら第二不完全性定理が示せたことになるんだね？
＞ このコピペ初見から数年以上たってるけど
＞ いまだに席巻どころかロジシャンの話題の端にものぼらないな
数年単にではなくて、数千年単位で見なければナランと想われ (-。-)y
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html
「ZFCはPAを含む」と言ったあとすぐに「ZFはV=Lを含まない」と言うと
「これだけ近い箇所で同じ単語『含む』を別の意味で使っているとは通常考えられないよね？
その直前か直後で『同じ単語を別の意味で使っています』と断り書きがあれば別だが」
なんて批判されるので気をつけないとな
http://a0.twimg.com/profile_images/2705624117/1897dc2f1b0beced94f7f0737f26ab28_normal.png
Con(ZF+AC) & Con(ZF+notAC)
Con(ZF) -> Con(Q)
Con(Q+AC) & Con(Q+notAC)
ttp://logic.wikischolars.columbia.edu/file/view/Jech%2C+T.+J.+%282003%29.+Set+Theory+%28The+3rd+millennium+ed.%29.pdf/205671048/Jech%2C%20T.%20J.%20%282003%29.%20Set%20Theory%20%28The%203rd%20millennium%20ed.%29.pdf
の14章で選択公理が独立なこと、33章で選択公理から決定性公理の否定が証明されることを示す。
ttp://logic.wikischolars.columbia.edu/file/view/Kunen%2C+K.+%281980%29.+Set+Theory.pdf/205671054/Kunen%2C%20K.%20%281980%29.%20Set%20Theory.pdf
の4章演習問題にZF-InfとPAの無矛盾等価性がのってる。
http://www.madore.org/~david/math/ordtrees.pdf
http://www.cs.tau.ac.il/%7Enachumd/papers/HydraRevisited.pdf
「∀x,A(x,y)=A(x,z)→y=z」
とあったのですが
写像f:(0,1)^2→Rをf(x,y):=x[y] (但し,[]はガウスの記号)
と定義すると
∀x∈(0,1)に対して,f(x,0.1)=f(x,0.2)=0ですが
0.1≠0.2なので「∀x,A(x,y)=A(x,z)→y=z」どおりになっていないと思うのですが、、
私の例は何処がおかしいのでしょうか?
書名プリーズ
「∀x,A(x,y)=A(x,z)→y=z」
は置換公理の一部(十分条件)でした。
どうもおさわがせしました。
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| l＾,人| ` `-' ゝ | 何時もおんなじ事を書く
| ` -'＼ ｰ' 人 馬鹿で無能のこうちゃんは
| /(l ＿＿／ ヽ、 やっぱり只の糞キチガイ
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 ネコも大して変わらない
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ 反論出来ないこうちゃんは
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納得しているけど、あなたの書き込みを見る限り論理学の基本ができていない。
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指摘は具体的に
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私は結構WEBに落ちてるんでipodなんかで読みますね。
http://page.mi.fu-berlin.de/raut/logic3/announce.pdf
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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なにその歪んだ選民意識
限定算術の研究とかすごい辺境の地なんじゃないかと
今限定算術って言ったら計算量とか再起理論つながり
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置換の公理だけは"図式"を用いてしか定義できないのでしょうか?
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これは可動条件が証明されないということを示す。
次にウィルキーらがIΣ0＋expまでQを拡張してさえ、Con(Q)が証明できないことを示した。
クラスという言葉を用いて良いなら有限個の公理に纏めることは可能。
集合についての言及だけしか使えないなら、ZFの公理を
有限個に置き換えることは不可能であることが分かっています。
ZFの公理で無限個あるのは置換公理（または分出公理）だけですから
公理図式という形で定義するしかない、ということになろうかと思います。
集合論の普通の教科書には大抵載っています。
「集合と位相」の教科書じゃないので注意すること。
証明論的順序数
http://wwwmath.uni-muenster.de/logik/Lehrveranstaltungen/04ss/LoSem/text.pdf
ランダムネス
http://www-2.dc.uba.ar/materias/azar/bibliografia/Downey2010AlgorithmicRandomness.pdf
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.141.3982&rep=rep1&type=pdf
どうも有難うございます。
http://en.bookfi.org/
ウェブ上でもダウンロードも可能。
洋書は高いから欧米のストゥーデントはみんなここか図書館で勉強してるんだ。
計算量クラスが大量に載ってる
http://www.cs.princeton.edu/theory/index.php/Compbook/Draft#model
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nonclassical logic
http://emilkirkegaard.dk/en/wp-content/uploads/An-Introduction-to-Non-Classical-Logic-From-If-to-Is.pdf
nonclassical logic part2
http://www.fenrong.net/events/msj2.pdf
http://www.dcs.kcl.ac.uk/staff/dg/P.pdf
(700 page over
http://citeseerx.ist.psu.edu/index
lamda culc
ページ数ぱない
http://www.cs.ru.nl/~henk/book.pdf
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どの本で使ってる用語法？
（このスレだったと記憶している）
一発で変換できないので可動条件と言ってるだけだよ。
とりあえずこの本で勉強していきたいと思ってるのですが・・・
何を勉強したいかによると思います。
現在、数学基礎論が数学全体のなかで、どのような意味をもっているか、
そして、どのようにつながっているかということから考えると、著者
（田中一之教授）の考え方は狭すぎると思います。
書いてあることはきちっとしていると思います、多くは本人でないから
かもしれませんが。
あなたもそんなゴーストライターの一人？
論理学の初学者が独習できるだろうか。
MENDELSONの本のように、ここの定理の証明過程をきちっと書いた本を読むべきだろう。
田中さんは著者ではなく編著。
つまり元請。実際の執筆は下請けの鹿島・角田・菊池3名。
それを「我流用語を断りなしに使う」というんだろ
読む人の手間はお構いなし、なのは良くない
まだペーペーですが敢えていうなら逆数学やりたいなと思ってます
まずはゲーデル，ゲンツェンによる三大定理（？）をしっかり勉強してからですね
ありがとうございました
最近では構成的逆数学というのもあるみたいだよ
ま焦らずしっかり勉強するのがいいと思うよ
>現在、数学基礎論が数学全体のなかで、どのような意味をもっているか、
>そして、どのようにつながっているか
横レスですがこの辺りの事情について
非専門家でもわかるような文献を挙げてくれると有り難く思います
割とよい本です。
確かさを求めて―数学の基礎についての哲学論考
M. ジャキント
http://www.amazon.co.jp/dp/4563003700
数学全体のなかで？
誤変換を放置したせいで読むひとの手間が多いのを我流用語というのか？
>>143
×可動条件
○可導性条件
「可動」は「かどうせい」と読むのか？それとも「可導性」の「性」は黙字？
誤変換と脱字が同時に起こっている、と認めさせることがそれほど重要なのか？
×>>120
○>>102
しかし>>140でまた独自の用語を使用
>>161で意味不明の釈明
間違えた
>>140ではなくて>>143だった
人を批判してる場合じゃないな
(●は排他的論理和xor)
の証明方法を教えて下さい
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だからそれを使って証明をしろということなんですが
できたところまでを書いてみろ。 わからない所がどこなのかが逆にわからん。
Ａ●ＢをＡ＋Ｂ（mod2）に読み替える
>190の通りだな。どのレベルが必要なのかはっきりしなきゃ答えようが無いわ。
単なる確認なら真偽表で十分。
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日本集合論の権威と言ってもいいかもね。
数学者は権威を嫌うけど。
同じネタの使いまわしで段々飽きてきたのさ。
共産党やナチスより酷い妙ちくりんな集団
前科者も複数紛れて、いかにも大阪らしい
無党派さん[] 投稿日：2012/12/03(月) 21:55:03.05 ID:3W6Dp3GZ [11/13]
http://www.jiji.com/jc/c?g=pol_30&k=2012120300800
維新 比例名簿の登載順位は次の通り。
（丸囲み数字は順位。同一順位の重複立候補者名は省略。前＝前職、元＝元職、新＝新人。敬称略）
【北海道＝４人】(1)重複候補３人 (4)米長知得（新）
【東北＝１１人】(1)小熊慎司（新）＝福島４区 (2)重複候補２人 (4)重複候補８人
【北関東＝１８人】(1)上野宏史（新）＝群馬１区 (2)石関貴史（前）＝同２区 (3)重複候補１４人 (17)植竹哲也（新）(18)仲田大介（新）
【南関東＝２０人】(1)小沢鋭仁（前）＝山梨１区 (2)松田学（新） (3)重複候補１６人 (19)田中甲（元） (20)横田光弘（新）
【東京＝２２人】(1)石原慎太郎（元） (2)今村洋史（新） (3)山田宏（元）＝東京１９区 (4)重複候補１８人 〔２２〕上村昭徳（新）
【北信越＝１０人】(1)中田宏（元） (2)重複候補８人 (10)堀居哲郎（新）
【東海＝１４人】(1)藤井孝男（元） (2)今井雅人（前）＝岐阜４区 (3)重複候補１１人 (14)近藤浩（元）
【近畿＝４０人】(1)東国原英夫（新） (2)西村真悟（元） (3)重複候補８人 (11)三宅博（新） (12)重複候補２８人 〔４０〕喜多義典（新）
【中国＝８人】(1)重複候補６人 (7)藤井昇（新） (8)谷本彰良（新）
【四国＝７人】(1)重複候補４人 (2)重複候補２人 (7)大内淳司（新）
【九州＝１９人】(1)松野頼久（前）＝熊本１区 (2)重複候補１７人 (19)黒仁田典之（新）
マスコミに踊らされる前に、中身見たほうがいいな
結局、可導性条件って証明できるものなの？なんかどの教科書見てもちゃんと書いてないんだけど
あと新井敏康の数学基礎論にはかなりきちんと書いてあるとか聞いたような
それからD3についてはSmorynskiとかBoolosの本とかが参考文献に挙げられてる本が多いはず
shoenfiledの本にのってる
ウェブだと
http://www.staff.science.uu.nl/~ooste110/syllabi/godelmoeder.pdf
紹介してくれた本見てみます
① ∃y∀x( F(x) → x=y)
② ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)
問題は、①と②が同値であることを示せ、です。
②→①はわかるのですが、逆がわかりません。
どなたかヒントでもいただけたら・・・
∀x( F(x) → x=y) と F(x)∧F(y) を仮定として（∀に関する推論規則を用いることなく）
F(x) → x=y と F(x) が出てきて、従って x=y が出てくる。
├ ∀x( F(x) → x=y) → ( F(x)∧F(y) → x=y)
├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ( F(x)∧F(y) → x=y)
├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)
├ ∃y∀x( F(x) → x=y) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)
１行目から２行目の変形がよくわかりません。もう少し説明お願いします。
∀x( F(x) → x=z) と F(x)∧F(y) を仮定として（∀に関する推論規則を用いることなく）
F(x) → x=z と F(x) が出てきて、従って x=z が出てくる。
F(y) → y=z と F(y) が出てきて、従って y=z が出てくる。
x=z と y=z から x=y が出てくる。
├ ∀x( F(x) → x=z) → ( F(x)∧F(y) → x=y)
├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ( F(x)∧F(y) → x=y)
├ ∃z∀x( F(x) → x=z) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)
├ ∃y∀x( F(x) → x=y) → ∀x∀y( F(x)∧F(y) → x=y)
>F(y) → y=z と F(y) が出てきて、従って y=z が出てくる。
>x=z と y=z から x=y が出てくる。
その下の論理式との対応がよくわかりません・・・
speciesの定義以降は見てないですが
その箇所は自分の能力を越えると認めているね
2011年に出ることになっているようですが、
amazonでも他のサイトでも見つかりません
どうせ買うなら二版が良いんですが何時出るんでしょうか？
スルーされますか？
どこに意義があるの？
217様 レスありがとうございます
意義というほどのおおげさなものは・・・
２１６の萌えストライクゾーンが公理論と圏論とにまたがっておりまして
・・・これだと書き込みの理由にはならんのでしょうが
「なら圏論スレへ」
「あちらは痛すぎますので」
つうことです 年明け早々ご迷惑をおかけしております
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレには馬と鹿と豚さんばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
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| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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詳しい説明を頼みますがな。ちゃんとカキコして下さいまし～ん。
ケケケ狢
>589 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/20(水) 15:29:26.89
> >>587
> >何だか蔑みの様にも、また見下しの様にも見えませんかね。
>
> 持ち上げるような学校ではないと思うが
> 入るのにほとんど頑張る必要が無い大学の学科なのだし
> 俺の知人の阪大基礎工あがりのカスは
> ただの性犯罪者だ
>
なんか年月日やレス番号が混乱してませんか・・・５８９はどこのスレ
でしょう前スレはDAT落ちしてますし2013/02/20(水) 15:29:26.89
にはこのスレは誰も書き込んでいないと思うのですが？
まあそういう事もアルでしょう。私は唯単にこのコピペを馬鹿板焼却の
材料として利用しているだけです。近々、また別のものに入れ替えます
ので、今暫くお待ち下さい。
狢
はい諒解いたしました次回バージョンを期待します（～～）
狢
>595 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/20(水) 20:56:54.96
> >>590
> 好みの女性を見るとムラムラして
> 触りまくることで有名なやつだったな
> 名字は増田って奴だがしらんか？
>
> 増田は痴漢以外にも飲尿療法にも凝ってるそうで
> よく紙コップにおしっこして
> その場で飲んで、その日の体調について語ってた。
> 気持ち悪かった。
>
飲尿療法の話は初見です
まあ２chの数学関連板は猫さんのおかげで
いくらかは質が高くなった面もありますしねえ
AA過投のパターンよりは評価しますよ
で狢さんは他のコテハンつかったりするんでしょうか？
（うっかり見当違いな対応すると笑われそうなのでvvvvvv）
早朝（深夜？）からご苦労様です
しばらく書き込んでくれるひとがいなくてどうしたのか
と思ってました 狢（貉？）さん≒猫さんらしいのですが
それは私２１６人目の素数とは別人28号です
文体でたぶん読み取れると思いますが
それはそうとこのスレの常連さん達どこへいってるんですか？
私待ちくたびれて「数学の哲学」板で遊んでました
みんな帰ってきてくれないかなあ
こうなったらスレタイスレさん（TTTさん？）でもおkなんでwww
貉さんvsTTTさんvs非因果的ブラックボックスさん
とかいうバトルロイヤル読んでみたいよー（～～）/♭
「ZFC ＋ 可測基数の存在」……（M）
は無矛盾である、と言うと必ず突っ込みが入り、
Mは無矛盾ではない、と言っても当然突っ込まれ、
Mが無矛盾であることが証明できる、と言っても必ず突っ込まれ
Mが無矛盾であることは証明できない、と言っても必ず突っ込まれる、
そんな微妙な命題を扱うギザギザハートな分野です
微妙な命題なんかどこの分野にもあるわい
２～３分野での例を出してもらえないだろうか。
証明も実証もされないものは腐るほどあるだろ。
腐るほどあるなら、２～３でいいので実例を出してもらえないか？
清水義夫の？
哲学出身の人だから説明がていねいでわかりやすいよ
意識のハードプロブレム始め、問題がそもそも何なのか、
定義から難しい問題がいくらでも世の中には転がっている。
基礎論の物なんか初歩的にすぎない。
お前は物を知らなすぎ。知識も探索力もない、馬鹿すぎ。
もしいたら様子を教えてください。ちょっと行けなかったもので。
で、結局具体的にはなにも知らないものを
いくらでもあるなんて言っちゃったの？
悔しいのか
だれが悔しいのかはよく考えてみるといい。
問題の訂正のしかたがわかるやついる？？
結構間違い多いけどここだけはどう考えてもどこが間違ってるのかわからないんだよな。
>>243がそのように感じるかどうかはさておき>>237も先んじてそれを決めつけているとでも？
あまりにものらりくらりと逃げ続けてまともな返答をしないから煽りが入ったのではないか？
具体的に探そうとすると凄く大変だろうが
ないと思ってる奴がいるとは思えんから、大変だと分かってて具体例を要求したんだろ？
あったとしても、あまり研究されていないところにひっそりとってくらいじゃないの？
>>239
＞未解決問題で探れば？
＞意識のハードプロブレム始め、
ちゃんと具体例挙げてんじゃん、検索ワードも教えてくれてるし
これで逃げ続けてるとか、いちゃもんとしか思えないんだけど
それ命題ちゃう
でおk？
>>239
可測基数の存在は、別に未解決じゃないよ。
将来的にどう解決されるということもない。
ただ、真でも偽でもないし独立だと言い切ることもできず、
（実際には矛盾していると思ってるまともな学者はいないけど）
論理的には矛盾している可能性が残る、それだけ。
あと哲学の命題を持ってきてもっと微妙だとか言われても……
数学の中でどういう分野か、というつもりだったのに
永田町の政治力学はもっと繊細精妙かつダイナミックだ、みたいなズレた話されても困る
Γ|=A かつ A，Δ|=B ならば Γ，Δ|=B
を証明するときに（p７０）、
AがΓ、Δ、Bのいずれにも含まれていない原子式を含んでいる場合、
Γ、Δ、Bが含んでいる原子式への真理値割り当てVを考えても
そのVがAの原子式に真理値を割り当てるとはかぎらないという理由で、
Aの原子式への真理値を補ったVプラス、を考えるのだけれど、
新しい論理式に出会うたびにVを拡大するのはめんどいのでは？
はじめから人工言語Lに備わる”すべての”原子式への真理値割り当てVを考えてはだめなのか？
集合全体の集まりは典型的な(非集合な)クラスの例かと思ってましたら,これは宇宙と呼ばれる真クラスでクラスではないのだそうです。
それでなるべくシンプルな非集合なクラスの例をお教え下さい。
真のクラスproper classはクラスですよ。
クラスであって特に集合ではないものをproper classと呼びます。
ですからV:=（集合全体の集まり）はクラスの例です。
ただ、もっと根本的なproper classの例としては
R = {x; x ∈x} = (自分自身に属さないような集合全ての集まり)
があります。
metaclassの中にはproper classと集合の2種類しかないのですね。metaclassから上はもう無くて,
proper classとして典型的な例が集合全体の集まり(宇宙)とラッセルパラドクス(クラス抽象体)が先ず挙げれるのですね。そのほかにもproper classは色々とあるらしい。
単にclassと言ったらproper classの可能性もあるのですね。
class(proper class,集合)の要素は常に集合なのですよね? 集合以外の要素を含むclass(これはもはやproper classでしょうが)ってどんなのがあるのでしょうか?
もし簡単な例があれば是非お教え下さい。
集合論の本で宇宙が詳しくのってるやつ教えてくりくり
公理的集合論「田中尚夫」のp52です。
憲法改正だ！ ９６条を改正して、その後９条を改正、そして何条を改正すると思う？
１８条だ！ これで、国家総動員法が出来て、お前ら無職のクソガキは、真っ先に徴兵！
おまえたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！ すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！
変わったタイトルと著者名だなw
復刊 公理的集合論には宇宙は乗ってますか？
「∀x∈Aに対してf(x)∈B」という命題はもしA=φの場合は偽なのでしょうか? それとも真なのでしょうか?
"∀x∈A"そのものが偽だから「∀x∈Aに対してf(x)∈B」は真かなぁと思ったりしてるのですが。。
どなたかお教え下さい。
「対して」を論理記号で書いたらすぐにわかる
「∀x(x∈A→f(x)∈B)」でしょうか?
A=φならx∈Aは常に偽なので, (x∈A→f(x)∈B)は常に真ですよね。
従って, A=φの時は「∀x∈Aに対してf(x)∈B」は真ですか?
(「具体例」の意味が曖昧ですみませんが
「自然数の集合」とか「実数の集合」みたいな感じで)
IDにmathが出るまで馬鹿乙
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1309073689/
ありがとうございます
ところで、こういう例や証明が載っている文献ってあるんでしょうか
可算順序数全部の集合(まんまや)
