(a,b) |→ c
となる２項演算子です。
群環体もこの２項演算子をモデルに作られています。
横に文字を連ねるとどうしても a □ b = c と
２項演算子が考えやすいのか…。
３項演算子を考えればもっと計算の世界が広がるのでは？
このスレでは３つの数 (a, b, c) に対して数 d を割り当てる３項演算子
(a,b,c) |→ d
を考えます。
(a_t, a_l, a_r) |→ b
を
a_t
△ ＞→ b
a_l a_r
t_t
a_t →＜ △
t_l t_r
l_t
a_l →＜ △
l_l l_r
r_t
a_r →＜ △
r_l r_r
とするとき、
t_l = l_t かつ l_r = r_l かつ r_t = t_r
のときのみ定義され
t_t
a_t △
△ ＞→ t_l △ r_t
a_l a_r △ △
l_l l_r r_r
のように書きます。
結合法則は >>4 により定義します
基数集合の位数が |S| = 1 の場合
つまり S = {e} の場合を考えます。
この場合
e
△ ＞→ e
e e
であり、拡張も
e
e △
△ →＜ e △ e
e e △ △
e e e
となり矛盾なく定義されていることが分かります。
理論自体は完結済
コンプータなんて人間様にはまだまだ及びませんよ。
簡単な有限群の計算だって、力ずくの解法では
少し大きくなれば |S_n| = n! の指数爆発で手に負えなくなりますし。
そうななのですか？ 参考資料はありますか？
まず単位元を自然な感じで >>7 と置くと
e
e △
△ →＜ e △ e
e 1 △ △
e e *
であるから * = 1 でなければならない。
よって
e
△ ＞→ 1
e 1
である。同様に
e
△ ＞→ 1
1 e
1
△ ＞→ 1
e e
が言える。
３項演算子で軽くググッタがプログラミング言語関連ばかりでした。
*
e △
△ →＜ e △ 1
e 1 △ △
e e e
より、 * = 1 でなければならず、
1
△ ＞→ e
e 1
が言える。同様に
1
△ ＞→ e
1 e
e
△ ＞→ e
1 1
である。
Wikipedia には書いてなかったでつ
e
e △
△ →＜ 1 △ 1
e 1 △ △
e 1 *
より * = 1 でなければならず
1
△ ＞→ 1
1 1
である。以上の定義は縮小 ＞→ について矛盾なく定義されている。
まとめて書くと、この三角乗法は、e := 0 とすると
a
△ ＞→ a+b+c (mod 2)
b c
である。
完結済みならなおさら Wikipedia に書いてありそうだけど…
研究した人の名前なり理論の名称なりを教えてくださいませんか？
ジョルダン三項積などの例は知らない、ということか？
どちらにせよ、演算と演算子の区別くらいつけれ。
展開についてだが、
*
a △
△ →＜ d △ f
b c △ △
g h i
となる a, b, c, d, f, g, h, i があるとき
* に入る基数が存在する
という定義はどうだろう。
簡単な有限群の計算だって、もう人間の力ずくの解法では
手に負えなくなる から
電子計算機やコンピュータにぶち込む方法じゃなかったか？
（当時）電子計算機が世に出て
何十年も前に解決済らしいので、もう誰も気にも留めないそうだがな…
情報サンクス。
Jordan三項積についての話題も歓迎です。
Google先生によれば島根県にはパソコンがないらしい。
だからパソコンやコンピュータといった
電子計算機という文明の利器も知らなかったのだろう。
コンピュータにぶち込むといったって、上手に処理しなければ
宇宙が終わるまで計算が終わらないということになる。
まず人間が効率のより理論・アルゴリズムを構築する必要がある。
ｎ項演算の理論は完成済みでしょうか？
どうして分かったの？ｗｗ
ってかコンピュータ無いのにどうやって書き込むｗｗｗ
ってググッたらほんとに出てきた！！！
整数論の難しい未解決な問題が生じるのに、
３項演算が全て分かっているなんて言えるでしょうか
はるばるパソコンがある神戸などへ出かけて
ネットカフェから書き込む
by 40代男性 海＠保安官
>>24
Jordan三項積が３項演算子の全ての場合だということですか？
＃ ググったけど Jordan三項積 のめぼしいサイトが見つかってないのよ
演算 {-, -, -} : A × A × A → A
(1)
じゃあ鳥取県ってどこ？
(1) {xyz} = {zyx}
(2) ４項関係 {xy{zuv}} + {z{yxu}v} = {{xyz}uv} + {zu{xyv}}
を満たすものを ternary Jordan algebra または Jordan triple system という。
ありがトン。
よってこのスレ終わっていいか？
２項の入れ替え
{xyz} = {zyx}
or
[u,v,w] = - [v,u,w]
２項の入れ替えを要求している。
一方、三角乗法では今のところその要件は入れていない。
今後の発展によれば分からないが…
よって上記の三角乗法と triple systems とは異なる
２項の入れ替えが必ずしも一致しないという条件で
対象が広がるかもしれない
まあ進んでいけば分かるって！
バージョン１の
>>2 >>4
で定義され
>>25
によって決定される
三角乗法では場合分けが多くなり考えにくい。
まあ後々コンプータさんにでも解かせるとして、いまは
(T1) 「頂点を保つ縮約」
a
△ a
* △ * ＞→ △
△ △ b c
b * c
を追加してみる。
じゃあ嵯峨県ってどこ？
確かに任意の２項演算を使ってよいなら
３項演算を２項演算の組み合わせで表現できますね。
しかし和や積などの簡単な表現で表わされるかどうかは分かりません。
そうすると３項であつかうメリットを得るには
対称性などから２項のときよりスッキリ書ける
ような３項演算であるのが望ましいのか…
なるほどん
数に対して加減乗除に次ぐ第５の演算で
加減乗除に類する素直な性質を持つものを見つけることです。
そのためにまず有限基数 S = {0, 1, ..., n-1} に対して
三角乗法△を定義し、それを N → Q → R と拡張する方針です。
ひとまず昨晩の探索の結果をまとめます。
整数 n に対して基数集合を S = {0, 1, ..., n-1} ととる。
任意の３つ組 (a, b, c) ∈ S × S × S に対して
△(a, b, c) = d ∈ S を割り当てる写像 △ を三角乗法と呼び
a
△ ＞→ d
b c
と書く。
上記のように左辺を右辺に変えることを縮約と呼ぶ。
この逆を展開と呼び
a
d →＜ △
b c
と書く。
縮約は一意に定まるが、d の展開は一般に
複数通りあっても良いものとする。
上記で定義される三角乗法系を (S, △) と書き
(S, △) の元 J ∈ (S, △) は
a
J = △ ＞→ d
b c
と書く。
三角乗法系 (S, △) に対し、J, P, B ∈ (S, △) が
互いに１つの頂点を共有するとき、つまり
x
J = △ ＞→ t
a b
a
P = △ ＞→ l
y c
b
B = △ ＞→ r
c z
となるとき、結合 △(J, P, B) が定義され
x
J △ t
△ →＜ a b ＞→ △
P B △ △ l r
y c z
とする。
任意の x, y, z, a, b, c ∈ S に対して
x
△ x
a b ＞→ △
△ △ y z
y c z
とし、頂点を保存する縮約 (T1) と呼ぶ。
上記 >>58 >>59 の定義と公理 T1 をもって
三角乗法系のとりあえずの定義とする。
任意に１つの s ∈ S を選んだとき
s
△ ＞→ t
s s
とすると
s
t △ s
△ →＜ s s ＞(T1)→ △ ＞→ t
t t △ △ s s
s s s
よって
[定理 １]
t
△ ＞→ t
t t
を満たす t が存在する。
t
t △ t
△ →＜ t t ＞(T1)→ △ ＞→ i
t i △ △ t k_i
t t k_i
よって
[定理 ２]
定理１の t と任意の i に対し
t
△ ＞→ i
t i
が成り立つ。
同様にして
t
△ ＞→ i
i t
i
△ ＞→ i
t t
が成立する。
k'_i
t △ k'_i
i →＜ △ →＜ t i ＞→ △ ＞→ k'_i
t i △ △ t t
t t t
より k'_i = i であり、２つ目の等式より
i
t →＜ △
t i
である。よって
[定理 ３]
定理 １の t と任意の i に対して
i
△ ＞→ t
t i
同様に
i
△ ＞→ t
i t
t
△ ＞→ t
i i
が成り立つ。
t
i △ t
△ →＜ t i ＞→ △ ＞→ i
i i △ △ i t
i t t
したがって
[定理 ４]
任意の i ∈ S に対して
i
△ ＞→ i
i i
が成り立つ。
以上の
定理 １ >>61
定理 ２ >>62 >>63
定理 ３ >>64
定理 ４ >>65
をまとめて書くと
[等項定理]
任意の a, b ∈ S に対して
a
△ ＞→ b
a b
a
△ ＞→ b
b a
b
△ ＞→ b
a a
が成立する。
この trivial な場合は
0
△ ＞→ 0
0 0
で、結合の定義による縮約と
頂点を保つ縮約が等しくなるのもほぼ自明でしょう。
等項定理 >>66 を使えば S = {0, 1} の場合が容易に構成できる。
任意の a, b, c ∈ S をとると a, b, c のうち少なくとも２つは
等しい基数となるので、等項定理で場合は尽くされている。
そして容易に
a
△ ＞→ d = a + b + c (mod 2)
b c
が分かる。
結合の定理と頂点を保存する縮約の無矛盾性は次のように示せる。
まず結合による縮約は上記 (mod 2) を使って
x
△
a b ＞＞→ d' = (x+a+b) + (y+c+a) + (z+b+c) = x + y + z (mod 2)
△ △
y c z
であるがこれは頂点を保存する縮約
x
△ x
a b ＞→ △ ＞→ x + y + z (mod 2)
△ △ y z
y c z
と一致する。よって S = {0, 1} の基数集合に対して
三角乗法系がただ１つ矛盾なく定義された。
それを示すにはもう少し定理の充実が必要なので進めます。
i
△ ＞→ l
j k
とする。そのとき
i
i △ i
△ →＜ i i ＞→ △ ＞→ s
j k △ △ i s
i j s
より s = l で
i
△ ＞→ k
j l
が成り立つ。つまり、左辺左項と右辺の入れ替えができる。
同様の証明で、左辺の三角形の任意の頂点と、右辺の入れ替えができる。
よって互換の積により、４つの数 (i, j, k, l) の任意の置換ができる。
これらの４つの数 i, j, k, l について、２つが等しいなら
等項定理 >>66 により残りの２つも等しくなるので、
i < j < k に対しては l は {i, j, k} に含まれない数である。
i
△ ＞→ l
j k
⇒
i
△ ＞→ k
j l
は i, j, k, l の数字が異ならない場合にも同様に成り立つことが
等項定理 >>66 より確かめられる。
よって
[移項定理]
任意の (i, j, k) に対して
i
△ ＞→ l
j k
が成り立つことを □(i, j, k, l) と書くとすると
(i, j, k, l) の任意の置換 (σ(i), σ(j), σ(k), σ(l)) に対して
□(σ(i), σ(j), σ(k), σ(l)) が成り立つ。
i, j, k, l は
1) 全て異なる、 2) 異なる２数が２つづつ、3) 全て同じ
のいずれかである。
>>71 で定義された４項関係 □(a, b, c, d) により
プリミティブの縮約
a
△ ＞→ d
b c
は a, b, c の並びに依存しないことが分かります。
よって三角形を △(abc) のように書いても混乱はないと思います。
そこで今後はスペースを節約する場合は△(abc)と書き、
ビジュアル的にイケてる場合は平面図形の記法を使います。
ここまで来ると >>69 を示すのは簡単です。
S = {0, 1, 2} に対して
0
△ ＞→ s
1 2
と取ると、s ∈ {0, 1, 2} のどれを選んでも
>>71 の終わりの分類に矛盾するので
|S| = 3 の場合は S 上に三角乗法を定義することはできません。
S = {0, 1, 2, 3} 上においては
等項定理の他には
□(0123) が唯一のプリミティブの定義です。
この定義が矛盾しないことは
コンピュータにより確かめましたが
今後の展開のためには矛盾しないことを
数式で示す方法が望ましいです。
どうやったら無矛盾性を示せるでしょうか？
4 < |S| においても、S の数字のラベルを適切に貼り替えれば
□(0123) が言えます。
よって 4 < |S| なる S は T = {0, 1, 2, 3} 上の三角乗法系を
部分系として含みます。
いま {0, 1, 2, 3} 以外の数 4 をとり
△(04a) ＞→ b を考えると、a = {1, 2, 3} の３つの選び方それぞれに
対して {0, 1, 2, 3, 4} と異なる数 b_a が必要です。
それらを b = {5, 6, 7} とすると S の基数は最低でも 8 <= |S| 必要なことが分かります。
実際は |S| = 8 に三角乗法が定義できます。
上の考察から □(0145)、□(0246)、□(0347) と定義し
△(124) ＞→ 7、△(134) ＞→ 6、△(234) ＞→ 5 を導きます。
さらに □(0167)、□(0257)、□(0356)、□(1256)、□(1357)、□(2367) が導けます。
最後に □(4567) を追加して定義を完成します。
この定義が結合法則 >>59 および頂点を保つ縮約公理 >>60 と
矛盾しないことはコンピュータにより確かめました。
コンピュータさんは |S| = 8 だとしばし考え込む感じです。
まあ私のプログラムが効率等あまり考えないヘボなのも原因ですが。
しかし結合法則 >>59 より (a, b, c, x, y, z) ～ n^6 の
６重ループを本質的には回さなければならない（と思う）ので
これは時間がかかっても仕方ないと思われます。
とくに次の |S| = 16 だと 64 倍以上も時間がかかってしまうので
より効率の良い無矛盾性チェックのアルゴリズムがあるといいなあ。
i →＜ △(ljk) ＞→ i' より i = i' でなければなりません。
よって１文字違いの展開は存在しません。
それでは２文字違いの展開はどうでしょうか？
(*) l →＜ △(ijk) かつ l →＜ △(i' j' k) ⇒ {i, j} = {i', j'}
が成り立つとすると
□(ijkl) かつ □(i' j' kl) ⇒ {i, j} = {i', j'}
つまり
△(jkl) ＞→ i のとき △(akl) ＞→ b ならば {a, b} = {i, j}
となります。
よって k, l を定めると組
よって k, l を定めると {i, j} が一意に定まるので
２文字違いの展開が互いに等しいとすれば
△は本質的には２項演算子となるかもしれない。
しかし実際には {i, j, i', j'} が全て異なる
□(ijkl) と □(i' j' kl) が存在する >>75
よって △(jkl) は j, k, l を３つとも定めないと
値は確定しない。ヨカッタヨカッタ
クライン４元群という音楽グループと
関連がありそうな気配がしている。
明日は２項の群演算の観点から少し探索する予定。
はたして△は２項の群演算で完全に統制されているのか。
今日はまもなく就寝です…
ご愛読感謝します
一日で猫に小判まで読むとはさすが読むの早いですね
しかし自然数に対する和と積だけでも
まだ理論が完結とは言えないのだから…
簡単な有限群の計算だって
人間の計算スピードでは手に負えなくなるから
コンピュータに投入して計算させるでしょう。
例えばモンスター群なんかはそういうのじゅないか？
しかしそのような計算が可能なのも
群の指標の理論や生成基底による一意表現などの
理論や公式が発達してきたからでしょうね。
そのような理論を駆使して効率のよい
プログラムを書いたのだと思います。
単にコンピュータのスピードにまかせて力ずく計算するのでは
位数が大きくなると手に負えません。
整数論に未解決な問題がたくさんあるのも
きっとそのためでしょう。
△(abc) ＞→ d
という式から始めます。
ある a、b について c に d を対応させる写像
f_{ab} : c → d
を考えます。この写像は単射であることが分かります。
なぜなら
f_{ab} : c' → d
も成り立つとすると
c →＜ △(abd) ＞→ c'
より c = c' となり、d に対して一意な c が対応しているからです。
よって f_{ab} は１対１対応であり
基数集合に作用する置換であることが分かります。
f_{ab} = (x_1 ... x_k) (x_{k+1} ... x_l) ... (x_m ... x_n)
と書けます。
いま a, b を異なる S の元とし、任意の c_i ∈ S に対して
△(ab c_i) = d_i
とします。 a と b が異なるので、c_i と d_i も S の異なる元です。
また
△(ab d_i) = c_i
も成り立つので f_{ab} は c_i と d_i を入れ替えます。
よって、f_{ab} は文字の被らない n'個の互換の積
f_{ab} = (c_1 d_1) (c_2 d_2) ... (c_n', d_n')
であることが分かります。
とくに基数 n は偶数で n = 2n' です。
一方、a = b の場合を考えます。
すると等項定理より
△(aa c_i) = c_i
であるので、f_{aa} は恒等置換です。
G_a ∋ b_a = f_{ab} と置いて G_a が群になることを期待します。
まず
a_a = e
つまり b = a のとき G_a の単位元です。
また
b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')
であったので、(b_a)^2 = e より
b_a の逆元は b_a 自身です。
最後に b_a b'_a が G_a の元であれば G_a は群を成すことを示せます。
いま G_a ∋ b_a に対し
b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')
とする。b_a でない b'_a ∈ G_a をとると
1 以外の i が存在して b'_a は c_1 を c_i または d_i に移す。
仮に c_i に移すとすると
b'_a = (c_1 c_i) (d_i x) ...
と書かれる。
このとき、b_a の置換より
□(ab c_1 d_1)、□(ab c_i d_i)
が成り立ち、b'_a の置換より
□(ab c_1 c_i)、□(ab d_i x)
が成り立つ。これを三角図で書くと
d_1
a △ d_1
x →＜ △ →＜ c_1 b ＞→ △ ＞→ d_1
b d_i △ △ a a
a c_i a
より x = d_1 が言える。
よって b'_a が c_1 を c_i にうつすならば
b'_a = (c_1 c_i) (d_i d_1) ...
となる。
シクシク (TдT) ﾀﾞﾚｶｶﾏｯﾃｰ
b'_a = (c_1 d_i) (c_i x) ...
となる。このとき
このとき、b_a の置換より
□(ab c_1 d_1)、□(ab c_i d_i)
□(ab c_1 d_i)、□(ab c_i x)
が成り立つ。三角図で書くと
d_1
a △ d_1
x →＜ △ →＜ c_1 b ＞→ △ ＞→ d_1
b c_i △ △ a a
a d_i a
となり、同様に x = d_1 が言える。
よって
b'_a = (c_1 d_i) (c_i d_1) ...
となる。
まとめて b'_a が c_1 を {c_i, d_i} に移すなら
b'_a = (c_1 {c_i, d_i}) ({d_i, c_i}, d_1) ： 左右同順
である。ここで {c_i, d_i} は c_i または d_i のどちらかを選ぶことを意味する。
b_a ∈ G_a は独立な n' = |S| / 2 個の互換の積で
b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')
と書ける。
b_a と異なる b'_a ∈ G_a をとる。
上の議論より、適当な c_i に対して
b'_a (c_i) = {c_j, d_j} であるとき
b'_a = (c_i, {c_j, d_j}) ({d_j, c_j}, d_i) ... ：左右同順
となる。まだ出てきていない c_k を選んで同様に行う、
ということを繰り返すと
b'_a = Π^{n''} (c_i, {c_j, d_j}) ({d_j, c_j}, d_i) ： 左右同順
となる。
b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')
と表示したとき、任意の b'_a ∈ G_a は
b'_a = [i_1, j_1] ... [i_n', j_n']
となる。ここで
[i, j] は (c_i d_j) (c_j d_i) または (c_i c_j) (d_i d_j) を意味し
i1, j_1, ..., i_n', j_n' は n 個の異なる数字である。
このとき b_a と b'_a の積は
b_a b'_a = Π^{n''} (c_i d_i) (c_j d_j) [i, j]
となる。ここで 2n'' = n' である。
因子を計算すると
(c_i d_i) (c_j d_j) (c_i d_j) (c_j d_i) = (c_i c_j) (d_i d_j)
または
(c_i d_i) (c_j d_j) (c_i c_j) (d_i d_j) = (c_i d_j) (c_j d_i)
である。
b_a = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')
と表示し、b_a と異なる元 b'_a ∈ を取り積
b_a b'_a
をつくったとき
(*) b_a b'_a = [i_1, j_1] ... [i_n', j_n']
となることを示した。ここで
[i, j] は (c_i d_j) (c_j d_i) または (c_i c_j) (d_i d_j) を意味し
i1, j_1, ..., i_n', j_n' は n 個の異なる数字である。
最後に (*) の形の表示がどのような i_1, j_1, ..., i_n', j_n' の
並びでも G_a の元であることを示せれば、G_a が群であることが言える。
それには n 個の b ∈
積を
(*) b_a b'_a = [i_1, j_1] ... [i_n', j_n']
のする。
２つの任意の数の組 (i, j) の選び方は n(n-1)/2 通りあり、
b'_a の数は n 通りしかないので任意の (i, j) が (*) に入る可能性があるなら
必ずしも群を成さないことになる。
把握。
b = (c_1 d_1) ... (c_n' d_n')
と表示したとき b と異なる b' に対して２つの数 s, t が選べて
b' = b_1 = (c_s c_t) (d_s d_t) ...
または
b' = b_2 = (c_s d_t) (c_t d_s) ...
となる。このとき表示されていない ... の部分は {c_s, c_t, d_s, d_t} を含まない。
積を X = bb' と置くと、>>91 の証明より
b' = b_1 のとき X = b_2 で、b' = b_2 のとき X = b_1 である。
前者を考えると
□(a b' c_s c_t)、□(a b' d_s d_t)
を仮定して
□(a b'' c_s d_t) かつ □(a b'' c_t d_s)
を満たす b'' が存在することを証明すれば X = b'' となり
G_a が群演算で閉じていることが示せる。
ところが △(a c_s d_t) ＞→ y および △(a c_t d_s) ＞→ z
を満たす y と z は常に存在するので、あとは y = z が言えればよい。
a
a △ a
y →＜ △ →＜ a a ＞→ △ ＞→ z
c_s d_t △ △ c_t d_s
c_t b' d_s
より示せた。
ガンバレ
|S| = n の基数集合 S 上に三角乗法
△ : S × S × S → S を定めたとき、
任意の a ∈ S に対して G_a ∋ b を
b(c) = d ⇔ △(a, b, c) → d
なるものとおけば、G_a は位数 n の群となる
ことが示せました。とくに、単位元と異なる b ∈ G_a は位数２をもち
b = Π (c_i d_i)
と表示できます。
ありがとう。感激。
まったりとガンバリます
任意の２元の積を
b_s b_t = b_k
とすると
b_k = (b_k)^{-1} = (b_t)^{-1} (b_s)^{-1} = b_t b_s
となります。つまり G_a は可換群です。
いま３つの元 {e, b_1, b_2} をとると
b_3 = b_1 b_2
は {e, b_1, b_2} とは異なり、この４つの元
V = {e, b_1, b_2, b_3}
は部分群を成します。この群はクライン４元群です。
もうひとつ元 b_4 を加えると
V と b_4 V は部分群 {e, b_4} による G_a の類別の
異なる剰余類に属するので、V ∩ b_4 V = φ (空集合) です。
よって V に生成元 b_4 を加えると８元群となり、その元は
b = b_1^{e_0} b_2^{e_1} b_4^{e_2}
と表示できます。ここで指数は e_i = {0, 1} をとるバイナリ表示です。
つぎつぎと生成元を付け加えていくと、16元群、32元群、…となり
最終的に G_a の位数は自然数 k が存在して n = 2^k となります。
＃ この群って何か名前がついているのでしょうか？
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